Intégration par parties

Intégration par parties

Soit n n un entier naturel supérieur ou égal à  2 2 . Pour tout entier naturel k ≤ n k <= n , on pose :

I k , n = ∫ 0 1 C n k x k ( 1 − x ) n − k dx I_{k,n} =int from 0 to 1 {C_n^k x^k(1-x)^{n-k}} dx

Question

A l'aide d'une intégration par parties, comparer I k , n I_{k,n} et I k + 1 , n I_{k+1,n} .

En déduire I k , n I_{k,n} en fonction de n n .

Indice

Intégrer par parties en posant  : u = ( 1 − x ) n − k u = (1-x)^{n-k} et dv = x k dx dv = x^k dx . On se servira de la relation :

( n − k ) C n k k + 1 = C n k + 1 {(n-k)C_n^k}over{k+1} = C_n^{k+1}

Solution : I k , n = I k + 1 , n = [ x n + 1 n + 1 ] 0 1 = 1 n + 1 I_{k,n} = I_{k+1,n}= left [x^{n+1} over {n+1}right]_0^1 = 1 over {n+1}