Banque d'exercices de mathématiques pour le programme 2003-2014 des oraux CCP-MP

Soit \(A\) une algèbre normée de dimension finie ayant \(e\) pour élément unité.

1. Soit \(u\) un élément de \(A\) tel que \(\Vert u\Vert<1\).

   • Démontrez que la série \(\displaystyle\sum u^n\) est convergente.

   • Démontrez que \((e-u)\) est inversible et que \((e-u)^{-1}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}u^n\).

2. Démontrez que, pour tout \(u\) de \(A\), la série \(\displaystyle\sum\dfrac{u^n}{n!}\) converge.