AN53
Question
\(E\) et \(F\) désignent deux espaces vectoriels normés.
Soient \(f\) une application de \(E\) dans \(F\) et \(a\) un point de \(E\).
Démontrez que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
P1. \(f\) est continue en \(a\).
P2. Pour toute suite \((x_n)\) d'éléments de \(E\) telle que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}x_n=a, \displaystyle\lim_{n\to+\infty}f(x_n)=f(a)\).
Soit \(A\) une partie dense d'un sous-espace vectoriel normé \(E\), et soient \(f\) et \(g\) deux applications continues de \(E\) dans \(F\), \(F\) désignant un espace vectoriel normé.
Démontrez que si, pour tout \(x\in A\), \(f(x)=g(x)\), alors \(f=g\).