AN59
Question
On note \(l^2\) l'ensemble des suites \(x=(x_n)\) de nombres complexes telles que la série \(\sum|x_n|^2\) converge.
Démontrez que \(l^2\) est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des suites de nombres complexes.
Démontrez que pour \(x=(x_n) \in l^2\) et \(y=(y_n) \in l^2\), la série \(\sum \overline{x_n}y_n\) converge.
On pose \(x|y=\sum_{n=0}^{+\infty} \overline{x_n}y_n\).
Démontrez que l'on définit ainsi un produit scalaire dans \(l^2\).
On suppose que \(l^2\) est muni de ce produit scalaire et de la norme associée.
Soit \(m\in\mathbb{N}\). Pour tout \(x=(x_n)\in l^2\), on pose \(\varphi(x)=x_m\). Démontrez que \(\varphi\) est une application linéaire et continue de \(l^2\) dans \(\mathbb{C}\) et calculez \(\vert\vert \varphi\vert\vert\), où \(\vert\vert \varphi\vert\vert\) désigne la norme usuelle dans l'espace vectoriel des applications linéaires et continues de \(l^2\) dans \(\mathbb{C}\).