AN56
Question
Soient \(E, F\) deux espaces vectoriels normés sur le corps \(\mathbb R\).
Démontrez que si \(f\) est une application linéaire de \(E\) dans \(F\), alors les propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes :
P1. \(f\) est continue sur \(E\).
P2. \(f\) est continue en \(0\).
P3. \(\exists k>0\) tel que \(\forall x\in E, \left\Vert f(x)\right\Vert \leqslant k\left\Vert x\right\Vert\).
Soit \(E\) l'espace vectoriel des applications linéaires et continues de \([0;1]\) dans \(\mathbb{R}\) muni de la norme définie par : \(\Vert f\Vert=\sup\limits_{x\in[0;1]}|f(x)|\).
On considère l'application \(\varphi\) de \(E\) dans \(\mathbb{R}\) définie par : \(\varphi(f)=\displaystyle\int_0^1 f(t)\text{d}t\).
Démontrez que \(\varphi\) est linéaire et continue.