AN08
Question
Soit \(f\) une fonction de \([a;b]\) dans \(\mathbb{R}\), continue sur \([a;b]\). On suppose que \(f\) est dérivable sur \(]a;b[\) sauf peut-être en un point \(x_0\) de \(]a;b[\).
Démontrez que si la fonction \(f'\) admet une limite en \(x_0\), alors la fonction \(f\) est dérivable en \(x_0\) et \(f'(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f'(x)\).
Démontrez que la réciproque de la propriété de la question 1. est fausse.
Indication : on pourra considérer la fonction \(g\) définie par : \(g(x)=x^2\sin\dfrac{1}{x}\) si \(x\not=0\) et \(g(0)=0\).