Banque d'exercices de mathématiques pour le programme 2003-2014 des oraux CCP-MP

Pour une suite de réels \((u_n)\), énoncez le critère de Cauchy.

Soit \(f\) une fonction dérivable de \(]0;1]\) dans \(\mathbb{R}\) telle que: \(\forall x\in]0;1], |f'(x)|\leq 1\).

On pose, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(U_n=f\left(\dfrac{1}{n}\right)\). Démontrez, en utilisant le critère de Cauchy, que cette suite converge.