AN07
Question
\(I\) désigne un intervalle de \(\mathbb{R}\).
Donnez la définition d'une fonction convexe définie sur \(I\), à valeurs réelles.
Soit \(f\) une fonction convexe de \(I\) dans \(\mathbb{R}\). Démontrez la propriété suivante, où \(n\) désigne un entier supérieur ou égal à 3 :
Si \(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n\) sont des nombres positifs tels que \(\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_i=1\) et si \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) appartiennent à \(I\), alors
\[\displaystyle f\left(\sum_{i=1}^n\lambda_i x_i\right) \leqslant \sum_{i=1}^n\lambda_i f(x_i)\;.\]
Indication : on pourra remarquer que \(\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_i x_i=\left(1-\displaystyle\sum_{i=3}^n\lambda_i\right)\dfrac{\lambda_1x_1+\lambda_2 x_2}{1-\displaystyle\sum_{i=3}^n\lambda_i}+\displaystyle\sum_{i=3}^n\lambda_i x_i\ .\)
Déduisez de ce qui précède, en utilisant la fonction \(\ln\), que pour tout entier \(n\geqslant 1\) et pour tous \(x_1,x_2,\ldots,x_n\in\mathbb{R}_+^{\ast}\), on a l'inégalité :