AG58
Question
On considère le système \(\left\{\begin{array}{lcr}x+y+z & = & 1 \\x+y+2z & = & 0 \\2x-y-z & = & -1 \\x-2y+z & = & m\end{array}\right.\;\; \)où \(m\) désigne un réel.
Démontrez qu'il existe une unique valeur \(m_0\) de \(m\) pour laquelle ce système admet une solution unique et donnez cette solution.
Dans l'espace rapporté à un repère \(\left(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\right)\), on considère la droite \(d\) de représentation paramétrique \(\left\{\begin{array}{l}x=u \\y=2+u\\z=-1+u\end{array}\right.\) et la droite \(d'\) de représentation paramétrique \(\left\{\begin{array}{l}x=t \\y=2-t\\z=-1\end{array}\right.\).
Démontrez que \(d\) et \(d'\) sont concourantes.
Démontrez que \(d\) peut être définie comme intersection des deux plans d'équations \(x+y+z=1\) et \(x+y+2z=0\) et que \(d'\) peut être définie comme intersection des deux plans d'équations \(2x-y-z=-1\) et \(x-2y+z=-5\).
Déduisez-en le résultat de la question 1.