AG55
Question
On considère la quadrique \((S)\) d'équation \(xy+yz=1\) dans un repère orthonormé \(\left(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\right)\).
On note \(q\) la forme quadratique associée à \((S)\).
Déterminez la matrice de \(q\) dans la base \(\left(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\right)\). On la notera \(A\).
Déterminez une base orthonormée \(\left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}\right)\) constituée par des vecteurs propres de \(A\).
On note \(P\) la matrice de passage de la base \(\left(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\right)\) à la base \(\left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}\right)\). Expliquez pourquoi la matrice de \(q\) dans la base \(\left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}\right)\) est égale à \(P^{-1}AP\).
Quelle est la nature de la quadrique \((S)\) ?