AG56

Question

Dans \(\mathbb{R}^2\), on considère les trois normes usuelles \(p_0\), \(p_1\) et \(p_2\) définies ainsi, pour tout \((x,y)\in\mathbb{R}^2\) :

\[\displaystyle p_0(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\ ,\ p_1(x,y)=|x|+|y|\ ,\ p_2(x,y)=\max(|x|,|y|)\ .\]

  1. Démontrez que ces trois normes sont équivalentes, sans utiliser le fait que \(\mathbb{R}^2\) est un espace vectoriel de dimension finie.

  2. On note, pour\( i\in \{0,1,2\}\), \(B_i((0;0),1)\), la boule ouverte de centre \((0;0)\) et de rayon 1 pour la norme \(p_i\). \((O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\) désigne un repère orthonormal du plan.

    Pour chaque \(i\in \{0,1,2\}\), déterminez l'ensemble \(E_i\) des points \(M\) du plan dont les coordonnées \((x,y)\) dans le repère \((O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\) sont telles que \((x,y)\in B_i((0;0),1)\).