AG40
Question
On définit dans \(\mathcal{M}_{2}\left( \mathbb{R}\right) \times \mathcal{M}_{2}\left( \mathbb{R}\right)\) l'application \(\varphi \left( A,A'\right)=\text{tr}\left( ^{t}AA'\right)\), où \(\text{tr}\left( ^{t}AA'\right)\) désigne la trace du produit de la matrice \(^tA\) par la matrice \(A'\). On note
\[\displaystyle
\mathcal{F}=\left\{ \left(\begin{array}{cc}a & b \\-b & a\end{array}\right),\ \left( a,b\right) \in \mathbb{R}^{2}\right\}\ .\]
On admet que \(\varphi\) est un produit scalaire sur \(\mathcal{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\).
Démontrez que \(\mathcal{F}\)est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_{2}\left( \mathbb{R}\right)\).
Déterminez une base de \(\mathcal{F}^{\perp }\).
Déterminez la projection orthogonale de \(J=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\1 & 1\end{array}\right)\) sur \(\mathcal{F}^{\perp}\) .