Banque d'exercices de mathématiques pour le programme 2003-2014 des oraux CCP-MP

Soit \(E\) l'espace vectoriel des applications continues et \(2\pi\)-périodiques de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\).

1. Démontrez que \(\left( f\ |\ g\right) =\dfrac{1}{2\pi }\displaystyle\int\limits_{0}^{2\pi }f\left( t\right) g\left( t\right) \text{d}t\) définit un produit scalaire sur \(E\).

2. Soit \(F\) le sous-espace vectoriel engendré par \(f:x\mapsto \cos x\) et \(g:x\mapsto \cos \left( 2x\right)\).

   Déterminez le projeté orthogonal sur \(F\) de la fonction \(u:x\mapsto \sin ^{2}x\).