AG37
Question
Soient \(a\) et \(b\) deux réels avec \(a<b\).
Soit \(h\) une fonction continue et positive de \([a,b]\) dans \(\mathbb{R}\).
Démontrez que : \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}h(x)\text{d}x=0\Longrightarrow h=0\).
Soit \(E\) le \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel des fonctions continues de \([a,b]\) dans \(\mathbb{R}\). On pose, pour tout \(f\) et tout \(g\) de \(E\), \(\left( f|g\right) =\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)g(x)\text{d}x\). Démontrez que l'on définit ainsi un produit scalaire sur \(E\).
Majorez \(\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\sqrt{x}e^{-x}\text{d}x\) en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz.