AG31
Question
On considère la matrice \(A=\begin{pmatrix}0 & -2 & 2 \\-3 & 1 & 3 \\-1 & 1 & 3\end{pmatrix}\).
Démontrez que \(\lambda=2\) est valeur propre de \(A\) et que \(V=\begin{pmatrix}1 \\0 \\1\end{pmatrix}\) est un vecteur propre associé.
On admet que \(A\) admet deux autres valeurs propres \(-2\) et 4 avec comme vecteurs propres respectivement associés \(\begin{pmatrix}1 \\1 \\0\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}0 \\1 \\1\end{pmatrix}\).
On considère les suites \(\left( a_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}}\), \(\left(b_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}}\), \(\left(c_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\) définies par leurs premiers termes \(a_{0},b_{0},c_{0}\) et :
\(\forall n\in \mathbb{N},\ \left\{\begin{array}{l}a_{n+1}=-2b_{n}+2c_{n} \\b_{n+1}=-3a_{n}+b_{n}+3c_{n} \\c_{n+1}=-a_{n}+b_{n}+3c_{n}\end{array}\right.\).
On suppose que \(a_0=2\), \(b_0=2\) et \(c_0=0\).
Calculez \(a_n\), \(b_n\) et \(c_n\) en fonction de \(n\).