AG32
Question
Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension 3 et \(e=\left( e_{1},e_{2},e_{3}\right)\) une base de \(E\).
On considère la forme quadratique \(q\) définie sur \(E\) par :
\[\displaystyle
q\left( v\right) =x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xz\]
où \(v\) est le vecteur de coordonnées \(\left( x,y,z\right)\) dans la base \(e\).
Quelle est la matrice \(A\) de \(q\) dans la base \(e\) ?
Déterminez les valeurs propres et les vecteurs propres de \(A\).
Indiquez une méthode pour trouver une base \(e'\) telle que si \(v\) a pour coordonnées \(\left( X,Y,Z\right)\) dans la base \(e'\), alors \(q\left( v\right)\) soit de la forme \(\alpha X^{2}+\beta Y^{2}+\gamma Z^{2}\).