Probabilités - Concours B des ENSA

\(X\) et \(Y\) étant deux variables aléatoires définies sur l'univers \(\Omega\) d'une expérience aléatoire, on a :

1. \(E(X + Y ) = E(X) + E(Y )\)

2. Quel que soit \(\lambda\) réel : \(E(\lambda X) = \lambda E(X)\)

3. Si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes \(E(XY ) = E(X) \times E(Y )\)

Justifions cette dernière propriété dans le cas continu. La densité du couple est : \(f_{X,Y} = f_X f_Y\) ainsi

\(E(XY ) = \int_{\mathbb R}\int_{\mathbb R}xyf_X (x)f_Y (y)dxdy = (\int_{\mathbb R}xf_X (x)dx) (\int_{\mathbb R}yf_Y (y)dy) = E(X)E(Y )\)

Plus généralement, on peut aussi écrire :

si \(X_1 , X_2 , ..., X_n\) est une suite de variables aléatoires, alors :

\(E(\sum_{k=1}^{k=n}X_k)=\sum_{k=1}^{k=n}E(X_k)\)