Loi de la somme de deux variables aléatoires
Cas discret
Soit un couple de v.a.r discrètes \((X, Y )\), si on pose \(Z = X + Y\) pour tout \(z \in Z(\Omega)\), on a :
\(P (Z = z) = \sum_{(i, j)\in D_z}P ((X = x_i ) \cap (Y = y_j ))\) avec \(D_z = \{(i, j) \in \mathbb N^2 , x_i + y_j = z\}\)
En particulier, si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes on a :
\(P ((X = x_i ) \cap (Y = y_j )) = P (X = x_i ) \times P (Y = y_j )\)
Définition : 3.2.1 (produit de convolution de deux fonctions) Cas absolument continu
Soient deux fonctions \(g\) et \(h\) définies et intégrables sur \(\mathbb R\), On définit une nouvelle fonction \(f\) appelée produit de convolution de \(g\) par \(h\) ainsi définie :
\(\forall x \in \mathbb R f (x) = g \ast h(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}g(x − v)h(v)dv\)
Ce produit est commutatif ainsi :
\(\forall x \in \mathbb R f (x) = \int_{-\infty}^{+\infty}k(x − v)g(v)dv\)
Soit un couple de v.a.r \((X, Y )\) de densité \(f_{X,Y}\) alors : La v.a.r \(X + Y\) a pour densité la fonction \(f_{X+Y}\) définie par :
\(f_{X+Y} (w) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X,Y} (w − v, v)dv = \int_{-\infty}^{+\infty}f_{X,Y} (u, w − u)du\)
En particulier, si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes : \(f_{X,Y} = f_X f_Y\) ainsi :
\(f_{X+Y} (w) = \int_{-\infty}^{+\infty}f_X (w − v)f_Y (v)dv = \int_{-\infty}^{+\infty}f_X (u)f_Y (w − u)du\)
\(f_{X+Y}\) est le produit de convolution de \(f_X\) par \(f_Y\)