Applications aux lois usuelles
Somme de variables de Bernouilli
Une variable aléatoire \(Y\) indicatrice de Bernouilli prend la valeur 1 avec la probabilité \(p\) et la valeur 0 avec la probabilité \(q = 1 - p\). On a \(E(Y ) = p\) et \(V (Y ) = pq\)
La variable \(S_n = \sum_{k=1}^{k=n}X_k\) où \(X_k\) sont n variables indicatrices de Bernouilli de même loi, indépendantes deux à deux, suit donc une loi binomiale de paramètre \(n\) et \(p\).
On a bien \(E(S_n ) = np\) et \(V (S_n ) = npq\)
Somme de variables de Poisson
\(X_1\) et \(X_2\) sont deux variables aléatoires indépendantes. Si \(X_1\) et \(X_2\) suivent respectivement les lois de Poisson \(P(\lambda_1 )\) et \(P(\lambda_2 )\) alors la variable aléatoire \(S = X_1 + X_2\) suit la loi de Poisson \(P(\lambda_1 + \lambda_2 )\)
Somme de variables de loi Normale
\(X_1\) et \(X_2\) sont deux variables aléatoires indépendantes. Si \(X_1\) et \(X_2\) suivent respectivement les lois normales \(N (m_1 , \sigma_1 )\) et \(N (m_2 , \sigma_2 )\) alors la variable aléatoire \(X_1 + X_2\) suit la loi normale :
\(N(m_1 + m_2, \sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2})\)