Probabilités - Concours B des ENSA

Lorsqu'il y a plusieurs expériences successives dépendantes, on construit généralement un arbre : les premières branches représentent les résultats de la première expérience. Puis pour chaque branche, on construit de nouvelles branches qui représentent les résultats de la deuxième expérience, ...

Dans notre exercice, il y a deux expériences : le groupe sanguin (quatre résultats \(A, B, AB, O\)) et le rhésus (deux résultats : positif noté \(R\) et négatif noté $\overline{R}$) . Ces deux expériences sont clairement dépendantes. En revanche, contrairement à la plupart des expériences dépendantes, elles sont commutatives (c'est-à-dire qu'on peut supposer comme première expérience soit le groupe sanguin soit le rhésus). Nous prendrons comme première expérience le groupe sanguin. L'arbre se représente comme suit :

Pour que l'arbre soit complet, il faut calculer les différentes probabilités de chaque branche. On est en présence d'équiprobabilité :

\(P (A) = \frac{3990}{10000}= 0, 399\)

\(P (B) =\frac{ 1000}{10000 } = 0, 1\)

\(P (AB) =\frac{510}{10000} = 0, 051\)

\(P (O) =\frac{4500}{10000} = 0, 45\)

Pour chaque branche de la première expérience, on va calculer la probabilité que le rhésus soit positif et la probabilité que le rhésus soit négatif. C'est-à-dire :

\(P (R/A) =\frac{P(R\cap A)}{P(A)}=\frac{\frac{3270}{10000}}{0,399}\simeq 0,82\)

$P(\overline{R}/A)=\frac{P(\overline{R}\cap A)}{P(A)}=\frac{\frac{720}{10000}}{\mathrm{0,399}}\simeq \mathrm{0,18}$

De la même manière, on peut calculer les probabilités des autres branches.

$P(R/B)=\frac{P(R\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{810}{10000}}{\mathrm{0,1}}\simeq \mathrm{0,81}$

$P(\overline{R}/B)=\frac{P(\overline{R}\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{190}{10000}}{\mathrm{0,1}}\simeq \mathrm{0,19}$

$P(R/AB)=\frac{P(R\cap AB)}{P(AB)}=\frac{\frac{415}{10000}}{\mathrm{0,051}}\simeq \mathrm{0,814}$

$P(\overline{R}/AB)=\frac{P(\overline{R}\cap AB)}{P(AB)}=\frac{\frac{95}{10000}}{\mathrm{0,051}}\simeq \mathrm{0,186}$

$P(R/O)=\frac{P(R\cap O)}{P(O)}=\frac{\frac{3600}{10000}}{\mathrm{0,45}}\simeq \mathrm{0,8}$

$P(\overline{R}/O)=\frac{P(\overline{R}\cap O)}{P(O)}=\frac{\frac{900}{10000}}{\mathrm{0,45}}\simeq \mathrm{0,2}$

On peut alors compléter l'arbre :

1. \(P (O) = 0, 45\)

2. \(P (R) = 0, 82 \times 0, 399 + 0, 81 \times 0, 1 + 0, 814 \times 0, 051 + 0, 8 \times 0, 45 = 0, 8095\)

3. \(P (R \cap O) = 0, 8 \times 0, 45 = 0, 36\).

De plus \(P (R) \times P (O) = 0, 8095 \times 0, 45 \simeq 0, 364 = 0, 36\).

Les évènements ”être du groupe O” et ”être rhésus +” ne sont donc pas indépendants.

$P(A/\overline{R})=\frac{P(A\cap \overline{R})}{P(\overline{R})}=\frac{\mathrm{0,072}}{1-\mathrm{0,8095}}\simeq \mathrm{0,378}$