Exercice 1a - Dénombrement
Une association 12 hommes et 8 femmes désire former un comité de 5 personnes dans lequel doivent se trouver au moins 2 hommes et 2 femmes.
Question
1. De combien de façons peut-on former ce comité ?
Solution
Il faut compter les comités du type A : 2 hommes et 3 femmes et ceux du type B : 3 hommes et 2 femmes.
Nombre de comités du type A : \(C^2_{12} C^3_8\).
Nombre de comités du type B : \(C^3_{12} C^2_8\).
Ces deux types étant disjoints, le nombre cherché est la somme :
\(C^2_{12} C^3_8+C^3_{12} C^2_8\)
Question
2. Même question que 1) en supposant que Monsieur A et Madame B (qui font partie de l'association mais qui ne s'entendent pas) ne peuvent appartenir au même comité.
Solution
Utilisons la notion de complémentaire et déterminons le nombre de comités avec Monsieur A et Madame B. C'est le nombre de comités formés de 3 personnes (+ Monsieur A et Madame B). Ces 3 personnes sont soit 2 hommes et 1 femme soit 1 homme et 2 femmes choisis parmi le groupe restreint 11 hommes et 7 femmes. En tout, il y a donc, par un calcul analogue au précédent :
\(C^2_{11}C^1_7+C^1_{11}C^2_7\)
comités avec Monsieur A et Madame B.
Le nombre de comités dans lesquels Monsieur A et Madame B ne sont pas ensemble est :
\(C^2_{12} C^3_8+C^3_{12} C^2_8-C^2_{11}C^1_7+C^1_{11}C^2_7\)