Exercice 2a - Dénombrement

On considère deux ensembles \(E\) et \(F\) de cardinaux respectifs \(n\) et \(m\).

Question

1. Quel est le nombre d'applications de \(E\) dans \(F\) ?

Solution

A chaque élément de \(E\), on associe n'importe quel élément de \(F\) . Le nombre d'applications est : \(m^n\)

Question

2. Si \(n = m + 1\) Quel est le nombre de surjections de \(E\) dans \(F\) ?

Solution

Il faut et il suffit qu'un seul élément de \(F\) ait deux antécédents, les autres éléments de \(F\) ayant un seul antécédent. Le résultat est donc : \(C_{m+1}^2 \times m \times (m − 1)! = \frac{m(m+1)!}{2}\)

Question

3. Si \(n = m\), Quel est le nombre de bijections de \(E\) dans \(F\) ?

Solution

C'est le nombre de permutations de \(n\) éléments donc : \(n!\).

Question

4. Si \(n \leq m\), Quel est le nombre d'injections de \(E\) dans \(F\) ?

Solution

Il faut déjà que \(m \geq n\), sinon ce nombre est 0. Le nombre de façons de choisir les \(n\) éléments de l'image de \(f\) est : \(C^n_m\)

Ainsi,le nombre d'injections de \(E\) dans \(F\) est : \(n!C^n_m\)