Probabilités - Concours B des ENSA

Examinons le problème suivant : on tire au hasard une boule, quelle est la probabilité pour que son numéro soit divisible par 3 ?

Les tirages étant équiprobables cette probabilité est égale au nombre de boules dont le numéro est divisible par 3 divisé par \(n\).

Le nombre de boules dont le numéro est divisible par 3 est égal à la partie entière du nombre \(\frac{n}{3}\) que l'on note : \([ \frac{n}{3} ]\)

La probabilité pour que le numéro soit divisible par 3 est donc :

\(\frac{[ \frac{n}{3} ]}{n}\)

Ce nombre tend vers \(\frac{n}{3}\) quand \(n \rightarrow +\infty\).

Notons A l'évènement : ”Le numéro est divisible par 3”

Notons B l'évènement : ”Le numéro est divisible par 4”

On cherche : \(P (A \cup B)\)

Or \(P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)\)

L'évènement \(A \cup B\) est l'évènement : ”Le numéro est divisible par 12”

Finalement, la probabilité cherchée est :

\(\frac{[\frac{n}{3}]}{n}+\frac{[\frac{n}{4}]}{n}-\frac{[\frac{n}{12}]}{n}\)

Ce nombre tend vers \(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{12}=\frac{1}{2}\) quand\(n \rightarrow + \infty\) .