Exercice : Exercice 5a - Probabilités [Probabilités

Exercice 5a - Probabilités

Deux joueurs A et B jouent avec deux dés. Chacun lance à tour de rôle. Dès que A obtient un total de 7, il gagne. Dès que B obtient un total de 6, il gagne. B joue le premier et ensuite (s'il y a une suite) A et B jouent alternativement.

Le jeu s'arrête dès que l'un d'eux gagne.

Question

Calculer les probabilités de succès de chaque joueur.

Solution

On notera (sept) l'évènement ”obtenir un total de 7” et $(\bar{sept})$ , l'évènement contraire.

Tout d'abord, la probabilité d'obtenir un total de 7 est : $P ((sept)) = \frac{6}{36}$ et la probabilité d'obtenir 6 est : $P ((six)) =\frac{5}{36}$

Supposons les lancers indépendants.

Considérons l'évènement noté $B_k$ : ”Le joueur B gagne à son $k$-ième lancer.”

$B_{k} = (\bar{six}) (\bar{sept}) (\bar{six}) (\bar{sept}) .... (\bar{six}) (\bar{sept}) (six)$ soit $(k - 1) (\bar{six}) (\bar{sept})$ successifs et pour ﬁnir la série : (six). Il s'ensuit que par indépendance :

$P (B_{k}) = {[P ((\bar{six})) P ((\bar{sept}))]}^{k - 1} P ((six)) = {(\frac{30}{36} \frac{31}{36})}^{k - 1} \frac{5}{36}$

L'évènement (B gagne) est l'union disjointe dénombrable sur $\mathbb N^{\ast}$ des évènements $B_k$.

Ainsi :

$P (B gagne) = \sum_{1}^{+ \infty} {(\frac{30}{36} \times \frac{31}{36})}^{k - 1} \times \frac{5}{36} = (\frac{1}{1 - \frac{30 \times 31}{36^{2}}}) \times \frac{5}{36} \approx 0,49$

Un raisonnement analogue permet de trouver P (A gagne).

On vériﬁe que : $P (A gagne) + P (B gagne) = 1$