.
Calculer lim x → 0 cos x − cos x 3 sin 2 x lim from {x toward 0} {{sqrt {cos x} - nroot 3 {cos x}}over{sin^2 x}}
Puisque cos x − 1 = x 2 2 + x 2 ε 1 ( x ) avec lim x → 0 ε 1 ( x ) = 0 cos x -1 = x^2 over 2 + x^2 %varepsilon_1(x) " avec " lim from {x toward 0} %varepsilon_1(x) = 0
On peut écrire pour tout x x de ] − π 2 ; π 2 [ left ] -{{%pi} over {2}} nitalic ; {%pi} over {2} right [ :
cos x = 1 + ( cos x − 1 ) = 1 − x 2 4 + x 2 ε 2 ( x ) avec lim x → 0 ε 2 ( x ) = 0 sqrt {cos x} = sqrt {1 + (cos x -1)} = 1-x^2 over 4 + x^2 %varepsilon_2(x) " avec " lim from {x toward 0} %varepsilon_2(x) = 0
et
Donc
cos x − cos x 3 = − x 2 12 + x 2 ε ( x ) avec lim x → 0 ε ( x ) = 0 sqrt {cos x} - nroot 3 {cos x}= -{x^2 over 12} + x^2 %varepsilon(x) " avec " lim from {x toward 0} %varepsilon(x) = 0
Et donc :
lim x → 0 cos x − cos x 3 sin 2 x = lim x → 0 − x 2 12 + x 2 ε ( x ) sin 2 x = lim x → 0 − 1 12 + x 2 ε ( x ) ( sin x x ) 2 = − 1 12 lim from {x toward 0} {{sqrt {cos x} - nroot 3 {cos x}}over{sin^2 x}} = lim from {x toward 0} {{-{x^2 over 12} + x^2 %varepsilon(x) } over {sin^2 x }} = lim from {x toward 0} {{-{1 over 12} + x^2 %varepsilon(x) } over {left ( {sin x}over{x} right )^2 }} = -{1 over 12}