Exercice : Fonctions logarithme et exponentielle [ANALYSE

Fonctions logarithme et exponentielle

Question

Etudier les variations de la fonction $f (x) = \ln (e^{x} + 1)$ . On vérifiera que lorsque $x$ tend vers $+ \infty$ , la courbe représentative de $f$ est asymptote à la droite d'équation $y = x$ . Montrer que cette fonction admet une réciproque $f^{- 1}$ et expliciter cette dernière.

Solution

D'après les théorèmes généraux, $f$ est définie et dérivable sur $ℝ$

On a : $f' (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$

$\forall x \in ℝ$ , $f' (x) > 0$ , $f$ est donc continue et strictement croissante sur $ℝ$

On a : $\lim_{x \to + \infty} (e^{x} + 1) = + \infty$ donc $\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$

De même : $\lim_{x \to - \infty} (e^{x} + 1) = 1$ donc $\lim_{x \to - \infty} f (x) = 0$

La droite d'équation : $y = 0$ est asymptote à la courbe.

On a :

$\begin{matrix} \lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x} & = \lim_{x \to + \infty} \frac{\ln (e^{x} + 1)}{x} \\ = \lim_{x \to + \infty} \frac{\ln e^{x} (1 + e^{- x})}{x} \\ = \lim_{x \to + \infty} \frac{\ln e^{x} + \ln (1 + e^{- x})}{x} \\ = \lim_{x \to + \infty} [1 + \frac{1}{x} \times \ln (1 + e^{- x})] = 1 \end{matrix}$

De même :

$\begin{matrix} \lim_{x \to + \infty} [f (x) - x] & = \lim_{x \to + \infty} [\ln (e^{x} + 1) - x] \\ = \lim_{x \to + \infty} [\ln (e^{x} (1 + e^{- x})) - x] \\ = \lim_{x \to + \infty} [x + \ln (1 + e^{- x}) - x] \\ = \lim_{x \to + \infty} [\ln (1 + e^{- x})] = 0 \end{matrix}$

La droite d'équation : $y = x$ est donc asymptote à la courbe représentative de $f$ .

$f$ est continue et strictement croissante sur $ℝ$ , $f$ est donc une bijection de $ℝ$ sur $] 0; + \infty [$

Donc $f^{- 1}$ est une bijection de $] 0; + \infty [$ sur $ℝ$

Soit $\begin{matrix} y \in] 0; + \infty [, y = f (x) & \Leftrightarrow y = \ln (e^{x} + 1) \\ \Leftrightarrow e^{y} = e^{x} + 1 \\ \Leftrightarrow e^{x} = e^{y} - 1 \\ \Leftrightarrow x = \ln (e^{y} - 1) \end{matrix}$

Notons que si $y \in] 0; + \infty [$ , alors $e^{y} - 1 > 0$ .

Donc :