ANALYSE - Concours B des ENSA

Au voisinage de $0$ :

On effectue le produit de $1-x$ par le ${\mathit{DL}}_3(0)$ de $\frac{1}{1+x}$, en ne conservant que les termes de degré inférieur ou égal à $3$.

$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^3{\epsilon }_1(x)\text{avec}\underset{x\to 0}{\lim }{\epsilon }_1(x)=0$

D'où :

$f(x)=(1-x)\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3-x+x^2-x^3\epsilon (x)\text{avec}\underset{x\to 0}{\lim }\epsilon (x)=0$

Finalement :

$f(x)=1-2x+2x^2-2x^3+x^3\epsilon (x)\text{avec}\underset{x\to 0}{\lim }\epsilon (x)=0$

Au voisinage de $2$ :

On pose $u=x-2$ pour se ramener au voisinage de $0$.

$f(x)=\frac{1-x}{1+x}=\frac{-1-u}{3+u}$

La division suivant les puissances croissantes, à l'ordre $3$, de $-1-u$ par $3+u$ donne$-\frac{1}{3}-\frac{2}{9}u+\frac{2}{27}{u}^2-\frac{2}{81}{u}^3$, d'où :

$f(x)=-\frac{1}{3}-\frac{2}{9}(x-2)+\frac{2}{27}{(x-2)}^2-\frac{2}{81}{(x-2)}^3+{(x-2)}^3\epsilon \text{'}(x)\text{avec}\underset{x\to 2}{\lim }\epsilon \text{'}(x)=0$

Au voisinage de $\text{+}\mathrm{\infty }$ :

On pose $u=\frac{1}{x}$ pour se ramener au voisinage de $0$.

$f(x)=\frac{1-x}{1+x}=\frac{1-\frac{1}{u}}{1+\frac{1}{u}}=\frac{u-1}{u+1}=-\left(\frac{1-u}{1+u}\right)$

On a déjà déterminé, à la question 1, le ${\mathit{DL}}_3(0)$ de $\frac{1-u}{1+u}$, d'où :

$f(x)=-1+\frac{2}{x}-\frac{2}{x^2}+\frac{2}{x^3}+\frac{1}{x^3}\epsilon \text{'}\text{'}(x)\text{avec}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\epsilon \text{'}\text{'}(x)=0$