ANALYSE - Concours B des ENSA

Donnons le développement limité à l'ordre de $3$ de $f(x)$en $0$.

On calcule :

$e^{2x}=1+2x+\frac{{(2x)}^2}{2!}+\frac{{(2x)}^3}{3!}+x^3{\epsilon }_1(x)\text{avec}\underset{x\to 0}{\lim }{\epsilon }_1(x)=0$

puis

$e^{2x}(1-x)=1+2x+2x^2+\frac{4}{3}{x}^3-x-2x^2-2x^3+x^3\epsilon (x)\text{avec}\underset{x\to 0}{\lim }\epsilon (x)=0$

soit

$e^{2x}(1-x)=1+x-\frac{2}{3}{x}^3+x^3\epsilon (x)\text{avec}\underset{x\to 0}{\lim }\epsilon (x)=0$

Et donc :

$f(x)=e^{2x}(1-x)+1=2+x-\frac{2}{3}{x}^3+x^3\epsilon (x)\text{avec}\underset{x\to 0}{\lim }\epsilon (x)=0$

L'équation de la tangente $(T)$ à $(C)$ est donnée par les deux premiers termes du ${\mathit{DL}}_3(0)$ précédent (cf formule de Taylor, $f$ étant infiniment différentiable) :

$(T)\text{:}y=2+x$

Au voisinage de $0$, on a :

$f(x)-(2+x)=-\frac{2}{3}{x}^3+x^3\epsilon (x)\text{avec}\underset{x\to 0}{\lim }\epsilon (x)=0$

Pour , $-\frac{2}{3}{x}^3>0$ et $f(x)-(2+x)>0$ . Donc $(C)$ est au dessus de $(T)$ .

Pour $x>0$ , et . Donc $(C)$ est en dessous de $(T)$ .