Continuité, dérivabilité

Continuité, dérivabilité

On considère la fonction f f définie sur ℝ setR par :

{ f ( x ) = x 2 sin 1 x si x ≠ 0 f ( 0 ) = 0 left lbrace alignl matrix {f(x)=x^2 sin{1 over x} #~#"si " x<>0 ##f(0)=0#~#~ } right none

Question

Etudier la continuité et la dérivabilité de f f

Solution

  1. D'une part f f est continue sur ℝ ∗ setR^{{}*{}} d'après les théorèmes généraux.

    D'autre part on peut écrire

    On en déduit lim x → 0 ( x 2 sin 1 x ) = 0 lim from {x toward 0 } left ( x^2 sin{1 over x} right )= 0

    Donc lim x → 0 f ( x ) = f ( 0 ) lim from {x toward 0 } f(x)= f(0) et f f est continue en 0 0

    Ainsi f f est continue sur ℝ setR

  2. D'après les théorèmes généraux, f f est dérivable en tout point de ℝ ∗ setR^{{}*{}} .

    D'autre part f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 = x sin 1 x {f(x)- f(0)} over {x-0} = x sin {1 over x}

    On écrit : − x ≤ x sin 1 x ≤ x -x <= x sin{1 over x} <= x

    On en déduit lim x → 0 ( x sin 1 x ) = 0 lim from {x toward 0 } left ( x sin{1 over x} right )= 0

    Donc f f est dérivable en  0 0 et f ' ( 0 ) = 0 f'(0) = 0

    Ainsi f f est dérivable sur ℝ setR et :

    { f ' ( x ) = 2 x sin 1 x − cos 1 x si x ≠ 0 f ' ( 0 ) = 0 left lbrace alignl matrix {f'(x)=2 x sin{1 over x} - cos {1 over x} #~#"si " x<>0 ##f'(0)=0#~#~ } right none