Accroissements finis

Accroissements finis

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Question

  1. Montrer que pour tout x ∈ ] 0 ; 1 [ x in left ] 0 nitalic ; 1 right [

    x ≤ arcsin x ≤ x 1 − x 2 x <= arcsin x <= x over {sqrt {1 - x^2}}

  2. En déduire lim x → 0 arcsin x x lim from {x toward 0} {{arcsin x} over x}

Solution

  1. Soit x ∈ ] 0 ; 1 [ x in left ] 0 nitalic ; 1 right [ . On appelle f ( t ) = arcsin t f(t) = arcsin t

    f f est dérivable sur [ 0 ; x ] left [ 0 nitalic ; x right ]

    D'après le théorème des accroissements finis, il existe un réel c ∈ ] 0 ; x [ c in left ] 0 nitalic ; x right [ tel que f ( x ) − f ( 0 ) = ( x − 0 ) f ' ( c ) f(x)-f(0)=(x-0)f'(c)

    Donc arcsin x = x 1 − c 2 arcsin x = x over {sqrt {1 - c^2}}

    Or 0 < c < x 0 < c < x

    donc 1 − x 2 < 1 − c 2 < 1 1 - x^2 < 1-c^2 < 1

    donc 1 − x 2 < 1 − c 2 < 1 sqrt {1 - x^2} < sqrt {1-c^2} < 1 (on sait que 1 − x 2 > 0 {1 - x^2} > 0 )

    et donc (passage à l'inverse).

    On en déduit : (multiplication par x ≥ 0 x >= 0 )

    Finalement : ∀ x ∈ ] 0 ; 1 [ , x ≤ arcsin x ≤ x 1 − x 2 forall x in left ] 0 nitalic ; 1 right [ , ~ x <= arcsin x <= x over sqrt {1 - x^2} (1)

  2. On déduit de ce qui précède :

    ∀ x ∈ ] 0 ; 1 [ , 1 ≤ arcsin x x ≤ 1 1 − x 2 forall x in left ] 0 nitalic ; 1 right [ , ~ 1 <= {arcsin x} over x <= 1 over sqrt {1 - x^2}

    Donc lim x → 0 + arcsin x x = 1 lim from {x toward 0^{{}+{}}} {{arcsin x} over x} = 1

    Ajoutons que : (d'après (1))

    Donc (car f f est impaire)

    Et donc ∀ x ∈ ] 0 ; 1 [ , 1 ≤ ( arcsin ( − x ) ) − x ≤ 1 1 − x 2 forall x in left ] 0 nitalic ; 1 right [ , ~ 1 <= (arcsin (-x)) over -x <= 1 over {sqrt {1- x^2}}

    On en déduit : lim x → 0 − arcsin x x = lim x → 0 + arcsin ( − x ) − x = 1 lim from {x toward 0^{{}-{}}} {{arcsin x} over x} = lim from {x toward 0^{{}+{}}} {{arcsin (-x)} over -x} = 1

    Les limites à gauche et à droite en  0 0 sont égales, on en déduit que : lim x → 0 arcsin x x = 1 lim from {x toward 0} {{arcsin x} over x} = 1