Equation différentielle du second ordre

Equation différentielle du second ordre

Question

Déterminer la forme générale de la solution de l'équation différentielle  (E5) "(E5)" :

y ' ' + y = sin 2 ( x ) (E5) y'' + y = sin^2(x) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ {alignr "(E5)"}

Solution

sin 2 ( x ) = 1 − cos ( 2 x ) 2 sin^2(x)= {1 - cos (2 x)} over 2

L'équation  (E5) "(E5)" peut s'écrire :

y ' ' + y = 1 2 − cos ( 2 x ) 2 y'' + y = 1 over 2 - {cos(2 x )} over 2

C'est une équation différentielle du second ordre à coefficients constants. On résout l'équation homogène, puis on recherchera une solution particulière.

  1. Solution de l'équation homogène : on suppose une solution du type y = e rx y = e^rx , ce qui conduit à l'équation caractéristique :

    r 2 + 1 = 0 r^2 + 1 = 0

    Δ = − 4 = ( 2 j ) 2 %DELTA = -4 = (2 j)^2

    Cette équation admet deux racines complexes conjuguées : r 1 = i r_1=i et r 2 = − i r_2=-i . La solution est donc :

    y = C cos ( x ) + D sin ( x ) y= C cos (x) +D sin (x)

    où C C et D D sont des constantes réelles.

  2. Solution particulière : le second membre est une combinaison linéaire de fonctions de la forme P ( x ) P(x) , polynôme de degré  0 0 et d'une fonction trigonométrique. On recherchera donc une solution particulière du type y 2 = D + C 1 cos ( 2 x ) + C 2 sin ( 2 x ) y_2= D + C_1 cos (2 x) +C_2 sin (2 x) , soit :

    y 2 ' = − 2 C 1 sin ( 2 x ) + 2 C 2 cos ( 2 x ) y_2'= -2 C_1 sin (2 x) + 2 C_2 cos (2 x)

    y 2 ' ' = − 4 C 1 cos ( 2 x ) − 4 C 2 sin ( 2 x ) y_2''= -4 C_1 cos (2 x) -4 C_2 sin (2 x)

    En injectant ces relations dans l'équation (E5) "(E5)" , nous obtenons :

    − 4 C 1 cos ( 2 x ) − 4 C 2 sin ( 2 x ) + D + C 1 cos ( 2 x ) + C 2 sin ( 2 x ) = 1 2 − cos ( 2 x ) 2 -4 C_1 cos (2 x) -4 C_2 sin (2 x) + D + C_1 cos (2 x) +C_2 sin (2 x) = 1 over 2 - {cos(2 x )} over 2

    Soit

    { D = 1 2 3 C 1 = − 1 2 3 C 2 = 0 ⇒ { D = 1 2 C 1 = − 1 6 C 2 = 0 alignl left lbrace matrix {D= {alignc 1 over 2} ## 3 C_1 = - {alignc 1 over 2}## 3 C_2=0} right none `drarrow` left lbrace matrix {D= {alignc 1 over 2 } ## C_1 = - {alignc 1 over 6}## C_2=0} right none

    On obtient donc la solution particulière :

    y 2 = 1 2 − 1 6 cos ( 2 x ) y_2 = 1 over 2 - 1 over 6 cos(2 x)

La solution générale de l'équation (E5) "(E5)" est donc : y = C cos ( x ) + D sin ( x ) + 1 2 − 1 6 cos ( 2 x ) y= C cos (x) +D sin (x) + 1 over 2 - 1 over 6 cos(2 x)

où C C et D D sont des constantes réelles.