Equation différentielle du premier ordre

Equation différentielle du premier ordre

Question

Déterminer la solution de l'équation différentielle  (E1) "(E1)" :

y ' + 2 y = e − x 3 (E1) y' + 2 y = e^-{x over 3} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ {alignr "(E1)"}

Solution

C'est une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants. On résout l'équation homogène, puis on recherchera une solution particulière.

  1. Solution de l'équation homogène :

    y 1 ' + 2 y 1 = 0 y_1' + 2 y_1 = 0

    dy 1 dx = − 2 y 1 dy_1 over dx =- 2 y_1

    dy 1 y 1 = − 2 dx dy_1 over y_1 =- 2 dx

    Les variables sont séparées, on intègre séparément les membres de droite et gauche.

    ln | y 1 | = − 2 x + K ln abs {y_1} = -2 x + K

    y 1 = C e − 2 x y_1 = C e^{-2 x}

    où C C est une constante réelle.

  2. Solution particulière : on applique la méthode de la variation de la constante. On suppose donc que :

    y 2 = C ( x ) e − 2 x y_2 = C(x) e^{-2 x}

    y 2 ' = C ' ( x ) e − 2 x − 2 C ( x ) e − 2 x y_2' = C'(x) e^{-2 x} - 2 C(x) e^{-2 x}

    En injectant ces relations dans l'équation (E1) "(E1)" , nous obtenons :

    C ' ( x ) e − 2 x − 2 C ( x ) e − 2 x + 2 C ( x ) e − 2 x = e − x 3 C'(x) e^{-2 x} - 2 C(x) e^{-2 x} + 2 C(x) e^{-2 x} = e^-{x over 3}

    d'où

    C ' = e − x 3 + 2 x C' = e^{-{x over 3} + 2 x}

    soit

    C = 3 5 e 5 3 x + K C = 3 over 5 e^{{5 over 3}x }+ K

    d'où la solution particulière recherchée (prise pour K = 0 K = 0 ) :

    y 2 = ( 3 5 e 5 3 x ) e − 2 x y_2 = left ( 3 over 5 e^{{5 over 3}x } right ) e^{-2 x}

La solution générale de l'équation  (E1) "(E1)" est donc :

y ( x ) = ( 3 5 e 5 3 x + C ) e − 2 x y(x) = left ( 3 over 5 e^{{5 over 3}x }+ C right ) e^{-2 x}

où C C est une constante réelle.

Identifions cette constante pour que la condition soit satisfaite.

y ( 0 ) = ( 3 5 + C ) = 2 y(0) = left ( 3 over 5 + C right ) =2

D'où

C = 2 − 3 5 = 7 5 C= 2- 3 over 5 = 7 over 5

La solution recherchée est donc :

y ( x ) = ( 3 5 e 5 3 x + 7 5 ) e − 2 x y(x) = left ( 3 over 5 e^{{5 over 3}x }+ 7 over 5 right ) e^{-2 x}