Equation différentielle du premier ordre

Equation différentielle du premier ordre

Question

Déterminer la forme générale de la solution de l'équation différentielle  (E2) "(E2)" :

y − ( x + 1 ) y ' + 2 x ( 2 x − 1 ) ( x + 1 ) 2 = 0 (E2) y - (x+1) y' + {2 x (2 x -1)}over{(x+1)^2} = 0 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ {alignr "(E2)"}

avec la condition : y ( 0 ) = 2 y(0)=2

Solution

C'est une équation différentielle du premier ordre à coefficients non constants du type

A ( x ) y ' + B ( x ) y = f ( x ) A(x) y' + B(x) y = f(x)

On résout l'équation homogène, puis on recherchera une solution particulière.

  1. Solution de l'équation homogène :

    y 1 − ( x + 1 ) y 1 ' = 0 y_1 - (x+1) y_1' = 0

    dy 1 y 1 = dx x + 1 dy_1 over y_1 = dx over {x+1}

    Les variables sont séparées, on intègre séparément les membres de droite et gauche.

    y 1 = C ( x + 1 ) y_1 =C (x+1)

    où C C est une constante réelle.

  2. Solution particulière : on applique la méthode de la variation de la constante. On suppose donc que :

    y 2 = C ( x ) ( x + 1 ) y_2 =C(x) (x+1)

    y 2 ' = C ' ( x ) ( x + 1 ) + C ( x ) y_2' =C'(x) (x+1)+C(x)

    En injectant ces relations dans l'équation (E2) "(E2)" , nous obtenons :

    C ( x ) ( x + 1 ) − ( x + 1 ) ( C ' ( x ) ( x + 1 ) + C ( x ) ) = − 2 x ( 2 x − 1 ) ( x + 1 ) 2 C(x) (x+1)-(x+1)(C'(x) (x+1)+C(x)) = -{{2 x (2 x -1)} over (x+1)^2}

    d'où

    C ' ( x ) = − 2 x ( 2 x − 1 ) ( x + 1 ) 4 C'(x) = -{{2 x (2 x -1)} over (x+1)^4}

    La décomposition en éléments simples du membre de droite conduit à :

    2 x ( 2 x − 1 ) ( x + 1 ) 4 = 6 ( x + 1 ) 4 − 10 ( x + 1 ) 3 + 4 ( x + 1 ) 2 {2 x (2 x -1)} over (x+1)^4 = 6 over (x+1)^4 - 10 over (x+1)^3 + 4 over (x+1)^2

    D'où :

    C = − 2 ( x + 1 ) 3 + 5 ( x + 1 ) 2 − 4 3 ( x + 1 ) + K C = -{2 over (x+1)^3} + 5 over (x+1)^2 - 4 over {3(x+1)} + K

    et la solution particulière recherchée (prise pour K = 0 K = 0 ) :

    y 2 = − 2 ( x + 1 ) 2 + 5 ( x + 1 ) − 4 3 y_2= -{2 over (x+1)^2} + 5 over (x+1) - 4 over {3}

La solution générale de l'équation  (E2) "(E2)" est donc :

y ( x ) = C ( x + 1 ) − 2 ( x + 1 ) 2 + 5 ( x + 1 ) − 4 3 y(x)=C(x+1) -{2 over (x+1)^2} + 5 over (x+1) - 4 over {3}

où C C est une constante réelle.