ANALYSE - Concours B des ENSA

C'est une équation différentielle du second ordre à coefficients constants. On résout l'équation homogène, puis on recherchera une solution particulière.

1. Solution de l'équation homogène : l'équation caractéristique est :

   $r^2+r+2=0$

   Cette équation a deux racines complexes  :

   $\frac{1+i\sqrt{7}}{2}\text{et}\frac{1-i\sqrt{7}}{2}$

   La solution s'écrit :

   $y=e^{\frac{-x}{2}}\left(A\sin \left(\frac{x\sqrt{7}}{2}\right)+B\cos \left(\frac{x\sqrt{7}}{2}\right)\right)$

   $A$ et $B$ étant deux réels quelconques.

2. Solution particulière : cherchons une solution particulière sous la forme : $y_0=z{e}^{-x}$ de l'équation différentielle $\text{(E4)}$.

   En reportant dans l'équation, on obtient : $z\text{'}\text{'}-z\text{'}+2z=\sin x+\cos x$

   Enfin une solution de l'équation $z\text{'}\text{'}-z\text{'}+2z=\sin x+\cos x$ est recherchée sous la forme$z_0=a\cos x+b\sin x$en reportant dans l'équation $z\text{'}\text{'}-z\text{'}+2z=\sin x+\cos x$, on obtient $a=1$ et $b=0$

La solution générale de l'équation $\text{(E4)}$ est donc :

$y=e^{\frac{-x}{2}}\left(A\sin \left(\frac{x\sqrt{7}}{2}\right)+B\cos \left(\frac{x\sqrt{7}}{2}\right)\right)+e^{-x}(\cos x)$

$A$ et $B$étant deux réels quelconques.