ANALYSE - Concours B des ENSA

C'est une équation différentielle du second ordre à coefficients constants. On résout l'équation homogène, puis on recherchera une solution particulière.

1. Solution de l'équation homogène : on suppose une solution du type $y=e^{\mathit{rx}}$, ce qui conduit à l'équation caractéristique :

   $r^2-r+1=0$

   $\mathrm{\Delta }={(i\sqrt{3})}^2$

   Cette équation admet deux racines complexes conjuguées :

   $r_1=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{3}}{2}$

   et

   $r_2=\frac{1-i\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}-\frac{i\sqrt{3}}{2}$

   La solution s'écrit :

   $y=e^{\frac{1}{2}x}\left(C\cos \left(x\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+D\sin \left(x\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)$

   où$C$ et $D$ sont des constantes réelles.

2. Solution particulière : le second membre est de la forme $e^{\mathit{mx}}$, avec $m=2$. Et $2$ n'est pas racine de l'équation caractéristique, on recherchera donc une solution particulière du type $y_2=A{e}^{2x}$ .

   $y_2\text{'}=2A{e}^{2x}$

   $y_2\text{'}\text{'}=4A{e}^{2x}$

   En injectant ces relations dans l'équation $\text{(E3)}$, nous obtenons :

   $A=\frac{1}{3}$

   d'où

   $y_2=\frac{1}{3}{e}^{2x}$

La solution générale de l'équation $\text{(E3)}$ est donc :

$y(x)=e^{\frac{1}{2}x}\left(C\cos \left(x\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+D\sin \left(x\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)+\frac{1}{3}{e}^{2x}$

où $C$ et $D$sont des constantes réelles.