Banque d'exercices de mathématiques pour le programme 2003-2014 des oraux CCP-MP

Soit \(\displaystyle\sum a_{n}z^{n}\) une série entière de rayon de convergence \(R>0\).

1. Démontrez que cette série converge uniformément sur tout disque fermé de centre \(0\) et de rayon \(r\) tel que \(0\leqslant r<R\).

2. Démontrez que la fonction \(z\longmapsto \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_{n}z^{n}\) est continue en tout point du disque ouvert de convergence.