AN26
Question
Démontrez que la série \(\displaystyle\sum \dfrac{z^{n}}{n!}\) est absolument convergente pour tout \(z\in \mathbb{C}\).
On pose, pour tout \(z\in \mathbb{C},\ f\left( z\right)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }\dfrac{z^{n}}{n!}\).
Démontrez que: \(f\left( z\right) \times f\left( z'\right) =f\left( z+z'\right)\), sans utiliser le fait que \(f\left( z\right) =e^{z}\).
Déduisez-en que : \(\forall z\in \mathbb{C},\ f\left( z\right)\neq 0\) et \(\dfrac{1}{f\left( z\right) }=f\left( -z\right)\).