AN24

Question

Soit \(A\subset \mathbb{C}$ et $\left( f_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}}\) une suite de fonctions de \(A\) dans \(\mathbb{C}\).

  1. Démontrez l'implication:

    \(\begin{eqnarray*}& \left( \text{la série de fonctions }\displaystyle\sum f_{n}\ \text{converge uniformément sur $A$}\right)& \\&\Downarrow &\\&\left( \text{la suite de fonctions\ }\left( f_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}\ \text{converge uniformément vers 0 sur $A$}\right)&\end{eqnarray*}\)

  2. La série entière \(\displaystyle\sum z^{n}\) est-elle uniformément convergente sur le disque ouvert de centre \(0\) et de rayon 1 ?