Application au gaz diatomique

Fonction de partition rotationnelle et vibrationnelle

Rotation :

  • Pour une molécule diatomique, le moment d'inertie vaut Iα = mR2.

    On définit alors θrot la température caractéristique de rotation qui s'écrit alors :

    % rot = h 2 2 m ¯ R 2 k B %ithêta_rot ~=~h^2 over {2 overline {m} R^2 k_B}

    où m est la moyenne barycentrique des masses des deux tomes, R le rayon de rotation (égal à la demi distance de la liaison covalente entre les deux atomes), h et kB les constantes de Planck et de Boltzmann.

    • Les valeurs typiques pour des molécules sont : 2,86 K pour N2, 85,4 K pour H2, 0.346 K pour Cl2, 15,2 K pour HCl.

    On obtient après calcul et approximation à une température supérieure à 5θrot (vérifiée à température ambiante pour Cl2, HCl, N2 mais pas H2 !), pour la fonction de partition rotationnelle :

    Z N , rot , diatomique = [ T a % rot ] N Z_{N,rot,diatomique} = left [ T over {a %ithêta_rot} right ]^N

Vibration :

  • Pour une molécule diatomique et donc linéaire, il n'y a qu'un seul mode de vibration et une température caractéristique de vibration associée θ'vib:

    % vib ' = h k B ⋅ ν %ithêta^'_vib ~=~h over k_B cdot%inu

    où ν est la fréquence du mode de vibration.

    • Ex. H2 : θ'vib = 6210 K.

    • Ex. Cl2 : θ'vib = 810 K.

    • Ex. N2 : θ'vib = 3340 K.

    • Ex. HCl : θ'vib = 4140 K.

    • Ex. CO : θ'vib = 3070 K.

    On obtient la fonction de partition vibrationnelle dépendante de la température :

    Z N , vib , diatomique = [ e − % vib ' / 2 T 1 − e − % vib ' / T ] N Z_{N,vib,diatomique} = left [ {func e^{-%ithêta^'_vib / {2T}}} over {1-func e^{-%ithêta^'_vib / {T}}} right ]^N

Définitionéquation d'état du gaz parfait diatomique

En application de la relation permettant de déduire la pression à partir de la fonction de partition, ( ∂ ln ( Z N ) ∂ V ) % , N = P k B T left ({partial ln(Z_N)} over {partial V} right ) _{%ibêta,N} = P over {k_B T} , et sachant que le seul terme dépendant du volume est VN, nous obtenons très facilement :

P = 1 % ⋅ N V ou encore P ⋅ V = N ⋅ k B T P = {1 over %ibêta} cdot {N over V} ~~~ou encore ~~~ P cdot V = N cdot k_B T

  • C'est la même relation que pour un gaz parfait monoatomique, puisque les fonctions de partitions ZN,rot et ZN,vib ne dépendent que de la température et pas du volume.