Energie cinétique moyenne et viriel : le théoème de Clausius

Nous cherchons à calculer l'énergie cinétique moyenne d'un système de particules dans un volume fini. Elles sont supposées sphériques (énergie cinétique de translation uniquement) et interagissent avec un potentiel d'interaction VN.

  • une force Fi s'exerce sur chaque ième particule. Elle est évaluée à partir du gradient du potentiel

    F i = − ∑ j ≠ i N ∇ j V N ( r N , angles N ) avec ∇ j = ∂ ∂ r j F_{i}=-sum from{j%notequal i} to{N} nabla_j V_N(r^N,angles^N) ~~avec~~nabla_j = partial over {partial r_j}

    et est composée de contributions provenant des autres particules et des forces extérieures :

  • La loi de Newton s'écrit : dp i dt = F i {dp_{i}} over {dt}=F_{i}

  • Et l'énergie cinétique s'écrit : E cinétique = 1 2 ∑ i = 1 N ( p i 2 m ) E_{cinétique}=1 over 2 sum from{i=1} to{N} ( p_{i}^{2} over m )

Démonstration

La démonstration est la suivante :

  1. Nous pouvons écrire l'énergie cinétique de façon alternative comme :

    E cinétique = 1 2 ∑ i = 1 N ( p i 2 m ) = 1 2 ∑ i = 1 N ( m i ⋅ ( dr i dt ) 2 ) = 1 2 ∑ i = 1 N ( m i ⋅ ( d dt ( r i ⋅ ( dr i dt ) ) ) − r i ⋅ ( d 2 r i dt 2 ) ) { E_{cinétique}~=~1 over 2 sum from{i=1} to{N} ( p_{i}^{2} over m )~=~1 over 2 sum from{i=1} to{N} left( m_{i} cdot left( dr_i over dt right) ^{2} right) } newline { ~~~~~~~~~~~~~~=~1 over 2 sum from{i=1} to{N} left( m_{i} cdot left( d over dt (r_i cdot ({dr_i} over dt) ) right) - r_i cdot ({d^2 r_i } over {dt^2}) right) }

    E cinétique = 1 2 ∑ i = 1 N ( m i ⋅ d dt ( r i ⋅ p i ) − r i ⋅ dp i dt ) = 1 2 ∑ i = 1 N ( m i ⋅ d dt ( r i ⋅ p i ) − r i ⋅ F i ) { E_{cinétique}~=~1 over 2 sum from{i=1} to{N} left( m_{i} cdot {d over dt (r_i cdot p_i )} - r_i cdot {dp_i over dt} right) } newline { ~~~~~~~~=~1 over 2 sum from{i=1} to{N} left( m_{i} cdot {d over dt (r_i cdot p_i )} - r_i cdot F_i right) }

  2. Si nous calculons la moyenne au cours du temps de cette expression (noté avec deux crochets < >t), nous pouvons montrer que le terme d/dt (ri.pi) devient nul sur un intervalle de temps t suffisamment long :

    ⟨ [ d dt ( r i ⋅ p i ) ] ⟩ t = 1 t ∫ 0 t [ d dt ( r i ⋅ p i ) ] dt = 1 t ⋅ [ ( r i ⋅ p i ) ] 0 t alignl {langle ~ left[ {d over dt (r_i cdot p_i )} right] ~ rangle_t } ~=~ {1 over t} int from 0 to t left[ {d over dt (r_i cdot p_i )} right] dt newline alignl ~~~~~~~~~~~~~~~~~~=~{1 over t} cdot left[ (r_i cdot p_i ) right]_0 ^t

    ⟨ [ d dt ( r i ⋅ p i ) ] ⟩ t → 0 lorsque t → ∞ car r i et p i sont des scalaires finis . alignl {langle ~ left[ {d over dt (r_i cdot p_i )} right] ~ rangle_t } ~ rightarrow ~0 ~~~lorsque ~~~t rightarrow infinity ~~ newline alignl ~~~~~~~~~~~~~~~~~~car r_i et p_i sont des scalaires finis.

  3. Par ailleurs d'après la définition de la force F i = − ∑ j ≠ i N ∇ j V N ( r N , angles N ) avec ∇ j = ∂ ∂ r j F_{i}=-sum from{j%notequal i} to{N} nabla_j V_N(r^N,angles^N) ~~avec~~nabla_j = partial over {partial r_j} , on peut intégrer la force et prendre la moyenne temporelle :

    L'énergie potentielle moyenne s'écrit alors :

    ⟨ E potentielle ⟩ t = ⟨ ∑ i r i ⋅ F i ⟩ t alignl {langle ~ E_potentielle ~ rangle_t } ~=~ langle sum from i r_i cdot F_i rangle_t

DéfinitionThéorème du Viriel de Clausius

Nous obtenons l'expression du viriel :

⟨ E cinetique ⟩ t = − 1 2 ⟨ E potentielle ⟩ t = − 1 2 ⟨ ∑ i r i ⋅ F i ⟩ t alignl {langle ~ E_cinetique ~ rangle_{~t} } ~=~ -~{1 over 2} langle E_potentielle rangle_{~t} ~=~ -~{1 over 2} langle sum from i r_i cdot F_i rangle_t

Pour un système système isolé de particules de masse ponctuelles, l'énergie cinétique moyenne est égale l'opposé de la moitié de l'énergie potentielle moyenne.

La troisième expression, le produit de la force et des coordonnées s'appelle le viriel du système Le terme de viriel vient du latin "vis" qui signifie "force".