Banque d'exercices de mathématiques pour le programme 2003-2014 des oraux CCP-MP

On considère la matrice \(A=\begin{pmatrix}-2 & -2 & 1 \\-2 & 1 & -2 \\1 & -2 & -2\end{pmatrix}\).

1. Justifiez que \(A\) est diagonalisable.

2. Déterminez \(P\) et \(D\) dans \(\mathcal{M}_{3}\left( \mathbb{R}\right)\) telles que : \(^{t}P=P^{-1}\), \(D\) est diagonale et \(^{t}PAP=D\).