Banque d'exercices de mathématiques pour le programme 2003-2014 des oraux CCP-MP

\(E\) désigne un espace euclidien. On note \(x|y\) le produit scalaire de \(x\) et de \(y\).

Si \(u\) est un endomorphisme de \(E\), on note \(u^*\) l'endomorphisme adjoint de \(u\).

1. • Si \(u\) est un endomorphisme de \(E\), précisez, en justifiant votre réponse, l'endomorphisme \((u^*)^*\).

   • Si \(u\) et \(v\) sont deux endomorphismes de \(E\), précisez, en justifiant votre réponse, l'endomorphisme \((u\circ v)^*\).

2. • Soit \((e_i)\) une base orthonormale de \(E\). On note \(A\) la matrice d'un endomorphisme \(u\) de \(E\) dans la base \((e_i)\) et \(B\) la matrice de \(u^*\) dans la base \((e_i)\). En justifiant votre réponse, donnez la relation qui existe entre \(A\) et \(B\) ?

   • Retrouvez le résultat de la question 1.a) à l'aide de la question 2.a).