AG17
Question
Soit \(u\) un endomorphisme d'un espace vectoriel \(E\) sur le corps \(\mathbb{K}$ ($=\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\)). On note \(\mathbb{K}[X]\) l'ensemble des polynômes à coefficients dans \(\mathbb{K}\).
Démontrez que:
\(\displaystyle \qquad \forall (P,Q)\in \mathbb{K}[X]\times \mathbb{K}[X],~ (PQ)(u)=P(u)\circ Q(u)~.\)
Démontrez que : \(\forall (P,Q)\in \mathbb{K}[X]\times \mathbb{K}[X],~ P(u)\circ Q(u)=Q(u)\circ P(u)\).
Démontrez que pour tout \((P,Q)\in \mathbb{K}[X]\times \mathbb{K}[X]\) :
\(\text{($P$ polynôme annulateur de $u$) $\;\Longrightarrow$ ($PQ$ polynôme annulateur de $u$)}\)
Soit \(A=\begin{pmatrix}-1 & -2 \\1 & 2\end{pmatrix}\). Écrivez le polynôme caractéristique de \(A\), puis déduisez-en que le polynôme \(R=X^4+2X^3+X^2-4X\) est un polynôme annulateur de \(A\).