AG12
Question
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) sur \(\mathbb{R}\), \((e_i)\) une base de \(E\) et \(v_1,v_2,\ldots,v_n\) \(n\) vecteurs de \(E\).
Démontrez qu'il existe un unique endomorphisme \(f\) de \(E\) tel que,
\(\qquad \displaystyle\forall i\in\{1;2;\ldots;n\},~f(e_i)=v_i~.\)
On note \({\cal L}(E)\) l'espace vectoriel des endomorphismes de \(E\), et \({\cal M}_n(\mathbb{R})\) l'espace vectoriel des matrices carrées \(n\times n\) à coefficients réels. Pour tout \(u\) de \({\cal L}(E)\), on pose : \(\varphi(u)=\text{Mat}_{(e_i)}u\) (\(\text{Mat}_{(e_i)}u\) désignant la matrice de \(u\) dans la base \((e_i)\)).
Démontrez que l'application \(\varphi\) de \({\cal L}(E)\) dans \({\cal M}_n(\mathbb{R})\) est linéaire et bijective.
Déterminez la dimension de l'espace vectoriel \({\cal L}(E)\).