AG16
Question
N.B : Les deux questions sont indépendantes.
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension \(n\) et soit \(f\) un endomorphisme de \(E\) . On note \(\mathcal{L}\left( E\right)\) l'espace vectoriel des endomorphismes de \(E\). Démontrez que, dans \(\mathcal{L}\left(E\right)\), la famille \(\left\{ \text{Id},f,f^{2},\cdots ,f^{n^{2}}\right\}\) est liée et déduisez-en que \(f\) admet un polynôme annulateur non identiquement nul.
Soit \(f\) un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie et \(\lambda\) une valeur propre de \(f\).
Démontrez que si \(P\) est un polynôme annulateur de \(f\) alors : \(P\left( \lambda \right) =0\).