La fonction exponentielle est une bijection

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur ℝ setR . Les limites calculées précédemment permettent de dire que la fonction exponentielle est une bijection de ℝ setR sur ] 0 ; + ∞ [ left ] 0 nitalic ; +infinity right [ . On en déduit le théorème suivant :

FondamentalThéorème

  1. e a = e b ⇔ a = b e^a = e^b dlrarrow a = b

  2. e a < e b ⇔ a < b e^a < e^b dlrarrow a < b

  3. Quel que soit le réel positif λ %lambda , l'équation e x = λ e^x = %lambda admet une solution unique.

Exemple

Résoudre dans ℝ setR les équations et inéquations suivantes : 2 e 3 x = 2 2 e^{3 x} = 2 ; 2 − 2 e 3 x < 0 2-2 e^{3 x} < 0 ; e 2 x − 3 = e − x 2 e^{2 x-3} = e^{-x^2}

  1. 2 e 3 x = 2 ⇔ e 3 x = 1 ⇔ e 3 x = e 0 2 e^{3 x} = 2 dlrarrow e^{3 x} = 1 dlrarrow e^{3 x} = e^0

    La fonction exponentielle étant bijective, on obtient 3 x = 0 3 x = 0 et donc x = 0 x = 0 . D'où S = { 0 } S = lbrace 0 rbrace

  2. 2 − 2 e 3 x < 0 ⇔ 1 < e 3 x ⇔ e 0 < e 3 x 2-2 e^{3 x} < 0 dlrarrow 1 < e^{3 x} dlrarrow e^0 < e^{3 x}

    La fonction exponentielle étant strictement croissante, on obtient 0 < 3 x 0 < 3 x . D'où S = ℝ + ∗ S = setR^{{}*{}}_{{}+{}}

  3. e 2 x − 3 = e − x 2 ⇔ 2 x − 3 = − x 2 ⇔ 2 x − 3 = 0 e^{2 x-3} = e^{-x^2} dlrarrow 2 x-3 = -x^2 dlrarrow 2 x-3 = 0

    On obtient deux solutions x = 1 x = 1 ou x = − 3 x = -3 . D'où S = { − 3 ; 1 } S = lbrace -3 nitalic ; 1 rbrace