Définition [ANALYSE - Concours B des ENSA]

Définition

Définition :

Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $ℝ$ telle que :

$f (0) = 1 et f' = f$

On la nomme fonction exponentielle, on note, pour tout $x$ réel :

$f (x) = \exp (x) ou f (x) = e^{x}$

Remarque :

Par définition, $\exp (1) = e$

Ce nombre $e$ est un nombre réel, irrationnel, $e \approx 2,71828$

Fondamental : Propriété

Quel que soit $x$ réel, $e^{x} > 0$ et $e^{0} = 1$
La fonction $f : x \to e^{x}$ est dérivable et donc continue sur $ℝ$ et $f' (x) = e^{x}$
Pour tous réels $a$ et $b$ et pour tout entier relatif $n$ :

$e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}; e^{a - b} = \frac{e^{a}}{e^{b}}; e^{- b} = \frac{1}{e^{b}}$

${(e^{a})}^{n} = e^{na}; e^{\frac{a}{2}} = \sqrt{e^{a}}; e^{\frac{a}{n}} = \sqrt[n]{e^{a}} (n > 0)$

Exemple :

Simplifier $e^{x} \times e^{- x}$ ; $\frac{{(e^{x})}^{4} \times e^{- 3 x}}{e^{2 x}}$ ; ${(e^{x} + e^{- x})}^{2} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}$ ; ${(e^{x} + e^{- x})}^{3} - 3 (e^{x} + e^{- x})$

$e^{x} \times e^{- x} = e^{x - x} = e^{0} = 1$
$\frac{{(e^{x})}^{4} \times e^{- 3 x}}{e^{2 x}} = \frac{e^{4 x} \times e^{- 3 x}}{e^{2 x}} = e^{4 x - 3 x - 2 x} = e^{- x}$
${(e^{x} + e^{- x})}^{2} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2} = e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} - (e^{2 x} - 2 + e^{- 2 x}) = 4$
$\begin{matrix} {(e^{x} + e^{- x})}^{3} - 3 (e^{x} + e^{- x}) = e^{3 x} + 3 e^{2 x} e^{- x} + 3 e^{x} e^{- 2 x} + e^{- 3 x} - 3 e^{x} - 3 e^{- x} \\ = e^{3 x} + 3 e^{x} + 3 e^{- x} + e^{- 3 x} - 3 e^{x} - 3 e^{- x} \end{matrix}$
Finalement ${(e^{x} + e^{- x})}^{3} - 3 (e^{x} + e^{- x}) = e^{3 x} + e^{- 3 x}$