Calculer l'intégrale définie suivante :
I 2 = ∫ 0 1 2 1 − t 2 dt I_2 = int from 0 to {size 6 {1 over 2}} {sqrt {1- t^2}} dt
On pose t = sin u t = sin u , u ∈ ] − π 2 ; π 2 ] u in left ] - {%pi over 2 } nitalic ; %pi over 2 right ] (l'existence du groupement 1 − t 2 1-t^2 peut le suggérer)
On a : dt = cos u du dt = cos u du
On obtient : 1 − t 2 = 1 − sin 2 u = cos 2 u sqrt {1-t^2} = sqrt {1 - sin^2 u } = sqrt { cos^2 u }
Or pour tout u ∈ ] − π 2 ; π 2 ] u in left ] - {%pi over 2 } nitalic ; %pi over 2 right ] , cos u ≥ 0 cos u >= 0 et donc 1 − t 2 = cos u 1-t^2 = cos u
Valeurs aux bornes : t t varie de 0 0 à 1 2 1 over 2 , donc u u varie de 0 0 à π 6 %pi over 6
D'où :
I 2 = ∫ 0 π 6 cos 2 u du = ∫ 0 π 6 1 + cos 2 u 2 du = [ 1 2 u + sin 2 u 4 ] 0 π 6 = π 12 + 3 8 I_2 = int from 0 to {size 6 {%pi over 6}} {cos^2 u} du = int from 0 to {size 6 {%pi over 6}} {{1+cos{2 u}} over 2 } du = left [ 1 over 2 u + {sin 2 u} over 4 right]_0^{%pi over 6} = %pi over 12 + {sqrt 3 }over 8