Calculer l'intégrale définie suivante :
I 3 = ∫ 0 3 dt 1 + 1 + t I_3 = int from 0 to 3 {dt over {sqrt {1 + sqrt {1 + t}}}}
On pose u = 1 + t ⇔ u 2 = 1 + t u=sqrt {1 + t} `dlrarrow` u^2 = 1+t
On obtient : 2 u du = dt 2 u du = dt
Valeurs aux bornes : t t varie de 0 0 à 3 3 , donc u u varie de 1 1 à 2 2 .
On a : 1 1 + 1 + t dt = 2 u du 1 + u 1 over {sqrt {1 + sqrt {1 + t}}} dt = {2 u du} over sqrt {1 + u}
D'où :
I 3 = ∫ 0 2 2 u du 1 + u I_3 = int from 0 to 2 {{2 u du} over sqrt {1 + u}}
Réutilisons un changement de variable (le même que le précédent convient).
On pose : v = 1 + u ⇔ v 2 = 1 + u v=sqrt {1 + u} `dlrarrow` v^2 = 1+u
On obtient : 2 v dv = du 2 v dv = du
u u varie de 1 1 à 2 2 donc v v varie de 2 sqrt 2 à 3 sqrt 3 .
On a 2 u du 1 + u = 2 ( v 2 − 1 ) 2 v dv v = 4 ( v 2 − 1 ) dv {2 u du} over sqrt {1 + u} = {2 ( v^2-1)2 v dv} over v = 4 (v^2-1)dv
d'où
I 3 = ∫ 2 3 4 ( v 2 − 1 ) dv = 4 [ v 3 3 − v ] 2 3 = 4 2 3 I_3= int from sqrt 2 to sqrt 3 4 (v^2-1)dv = 4 left [ v^3 over 3 - v right ]_{sqrt 2}^{sqrt 3} = {4 sqrt 2} over 3