Calculer les primitives suivantes :
∫ dx e 2 x + e x − 2 int {dx over {e^{2 x} + e^x -2}}
∫ cos 3 x 1 − 2 sin x dx int {{cos^3 x} over {1 - 2 sin x }} dx
On pose u = e x u=e^x , et donc dx = du u dx = du over u
On obtient : ∫ dx e 2 x + e x − 2 = ∫ du u ( u − 1 ) ( u + 2 ) int {dx over {e^{2 x} + e^x -2}} = int {du over {u(u-1)(u+2)}}
On décompose la fraction 1 u ( u − 1 ) ( u + 2 ) 1 over {u(u-1)(u+2)} en éléments simples.
On obtient : ∫ du u ( u − 1 ) ( u + 2 ) = ∫ ( − 1 2 u + 1 3 ( u − 1 ) + 1 6 ( u + 2 ) ) du int {du over {u(u-1)(u+2)}} = int left ( -{1 over {2 u}} + {1 over {3(u-1)}} + 1 over {6(u+2)} right ) du
Donc
∫ du u ( u − 1 ) ( u + 2 ) = − 1 2 ln u + 1 3 ln | u − 1 | + 1 6 ln | u + 2 | + C int {du over {u(u-1)(u+2)}} = -{1 over 2} ln u + 1 over 3 ln abs {u-1} + 1 over 6 ln abs {u+2} + C
Finalement
∫ dx e 2 x + e x − 2 = − x 2 + 1 3 ln | e x − 1 | + 1 6 ln ( e x + 2 ) + C int {dx over {e^{2 x} + e^x -2}} = -{x over 2} + 1 over 3 ln abs{e^x-1} + 1 over 6 ln (e^x+2) + C
On pose u = sin x u=sin x et donc du = cos x dx du = cos x dx
On obtient ∫ cos 3 x 1 − 2 sin x dx = ∫ 1 − u 2 1 − 2 u du int {{cos^3 x} over {1 - 2 sin x }} dx = int {{1-u^2}over{1-2 u}} du
On décompose la fraction 1 − u 2 1 − 2 u {1-u^2}over{1-2 u} en éléments simples.
On obtient :
∫ 1 − u 2 1 − 2 u du = ∫ ( u 2 + 1 4 − 3 4 ( 2 u − 1 ) ) du = u 2 + u 4 − 3 8 ln | 2 u − 1 | + C int {{1-u^2}over{1-2 u}} du = int left ( u over 2 + 1 over 4 - 3 over {4(2 u -1)}right ) du ={u^2+u}over 4 - 3 over 8 ln abs {2 u -1} + C
Finalement :
∫ cos 3 x 1 − 2 sin x dx = sin 2 x + sin x 4 − 3 8 ln | 2 sin x − 1 | + C int {{cos^3 x} over {1 - 2 sin x }} dx = {sin^2 x + sin x } over 4 - 3 over 8 ln abs {2 sin x -1} + C